关于芝诺悖论的研究 六年（2）班 戚怀少

       在数学史上，有一个困扰数学家很久很久的难题，这就是芝诺悖论。

       芝诺悖论是古希腊数学家芝诺最先提出来的，主要的意思就是：一个古希腊时期的士兵去追一只乌龟，他和乌龟之间只有10米的距离。然而如果他每次跑到乌龟之前所在位置的时候，乌龟就往前移动了一段距离；而当他再次跑到乌龟的位置时，乌龟又移动了一点距离；以此类推，他永远追不上乌龟。

       为什么它是一个悖论呢？是因为它只是表面上有理，事实上是无理的。这其实是一个典型的无限分割问题，谬误的地方是将空间的无限分割与时间的无限延长混淆在了一起。士兵和乌龟的运动在时间上是连续的，在空间中是不受某一小段距离约束的。不能采取无限分割空间的方式限定距离，然后从无限收敛的空间推论到无限扩展的时间，数理逻辑不一致，犯了张冠李戴的错误。其实，士兵每次所用时间对在递减，最后无限接近于0，总的时间是固定的值，不是永远追不上。我们假设士兵速度是10m/s,乌龟是1m/s，按芝诺的思路所用的时间就会形成这样一个数列：t=1+1/10+1/100+……1/10n+……,结果应该是10/9秒。这个结果还可以追及问题求解，如下图所示：

图1 追及问题解决芝诺悖论 

        再拿一张纸来举例子吧，虽然理论上你可以无限次的折叠，并且可以变得无限长（甚至可以比宇宙还长）但是现实中，你往往折叠5、6次就没法继续折了，即使稍微大一点的纸，给技术好一点的人折，也只能折11、12次。

       无限这个概念，通常又可以分为4种可操作的方案：无限大，无限小，无限分割与无限接近。是否存在最大的素数，就是一个无限大的数学问题；寻找最基本的粒子，就是一个无限小的物理问题——据目前的证据，无限小受到普朗克常量（h=6.62607015×10-34 J·s）的限制。芝诺悖论则是典型的无限分割与无限接近的问题。

       谈到无限分割问题，这就又扯到一个概念——无穷的概念。宇宙是不是无穷的？现在科学家们认为，宇宙虽然有边界，但是这个边界会无限扩大，所以宇宙是无穷的。这属于空间上的无穷，可以分为两种：（1）均匀空间的无限扩张/延展；（2）球形，没有起点和终点的无限空间的扩张。另外有一些人认为，时间也是无穷的。时间的无穷也分为两种：（1）均匀的无穷，像以往无垠的沙漠里面的沙粒一样；（2）有方向的无穷，就像一条奔流不息的大江，一直流向前方。古时候，有一些人也幻想着自己获得生命的无穷。他们究竟想得到哪种长生不老呢——是第一种，等同于时间完全静止了，一直维持在一个时间点上不断地重复；还是第二种，时间流动人也一直变老，但却不会老到生命终结呢？

       如果人类真的掌握长生不老的技能，然而宇宙却是会终结的，那该怎么办呢？如何确认我们宇宙的寿命是不是无穷的，或者去哪找一个无穷的宇宙的呢？

图2 宇宙是无穷的吗？